Ćwiczenie nr 2

Badanie własności dynamicznych termopary

Spis treści

1.  Opis dynamicznych właściwości układów do pomiarów wielkości zmiennych w czasie

2.  Analityczny opis właściwości dynamicznych czujników temperatury

2.1 Idealny czujnik temperatury

2.2 Termometry rzeczywiste

3.  Doświadczalne wyznaczanie własności dynamicznych termopary – metoda Kondratiewa

3.1 Idea pomiaru

3.2 Układ pomiarowy

3.3 Zadania do wykonania

4.  Literatura


1.  Opis dynamicznych właściwości układów do pomiarów wielkości zmiennych w czasie

Zarówno wielkość mierzona przez urządzenie pomiarowe, jak i sygnał wyjściowy urządzenia pomiarowego są w ogólnym przypadku funkcjami czasu  x = x(t),  y = y(t). Przebiegi obu funkcji nie są równoczesne, występuje przesunięcie w czasie a także kształt funkcji wyjściowej nie jest w pełni zgodny z funkcją wejściową. Z powyższych powodów różnice pomiędzy wielkościami x i  y występujące w danej chwili czasu nazywamy błędami dynamicznymi. Błędy dynamiczne mają szczególnie duże znaczenie przy pomiarze zjawisk szybkozmiennych, oraz gdy sygnał wyjściowy urządzenia pomiarowego jest wykorzystywany do regulacji.

Jeśli układ pomiarowy daje się opisać liniowym równaniem różniczkowym w dziedzinie zmiennej t (czasu):

                                                                    (1)

to korzystając z transformacji Laplace’a

                                                                              (2)

równanie (1) można przekształcić w dziedzinie zmiennej zespolonej p do równania algebraicznego o postaci:

            .                                                    (3)

Wyciągając przed nawias z lewej strony X(p) a z prawej Y(p) możemy utworzyć stosunek tych funkcji, jak w równaniu poniżej

                                                                                (4)

Wyrażenie (4) jest ilorazem sygnału wyjściowego i wejściowego w funkcji zmiennej p, reprezentującej pulsację w postaci zespolonej oraz stałych równania (1). Stałe te zależą od fizycznych własności elementu pomiarowego. Iloraz ten oznaczony jako K(p) zwany jest operatorową funkcją przejścia lub transmitancją operatorową elementu, w pełni opisuje jego dynamiczne właściwości.

Symbol X(p) przedstawia w postaci operatorowej wielkość mierzoną, tj. sygnał wejściowy pobudzający układ. Dla doświadczalnego wyznaczenia transmitancji układu dobiera się odpowiednio zmienny w czasie sygnał wejściowy. Najczęściej stosuje się jeden z następujących czterech rodzajów pobudzenia:

-         sinusoidalne

-         narastające ze stałą szybkością

-         impulsowe (funkcja d Diraca)

-         skoku jednostkowego (1(t)).

Pobudzenie sinusoidalne ma duże znaczenie ze względu na to, że często w praktyce spotykamy przebiegi okresowe, które można rozłożyć na harmoniczne (szereg Fouriera). Niestety w przypadku np. badania czujnika temperatury bardzo trudno jest zrealizować fizycznie tego typu pobudzenie.

Szczególne znaczenie zyskało pobudzenie skokiem jednostkowym, ze względu na proste związki teoretyczne i względną łatwość fizycznej realizacji.

Stosując odwrotną transformację Laplace’a do operatorowej transmitancji  opisanej wzorem (4) uzyskamy transmitancję czasową  k(t):

            k(t)  =  L  -1(K(p))                                                                                                      (5)

            W przypadku skoku jednostkowego funkcja opisująca sygnał wyjściowy przy pobudzeniu jednostkowym jest transmitancją elementu w postaci czasowej.

2.  Analityczny opis właściwości dynamicznych czujników temperatury

2.1 Idealny czujnik temperatury

Idealnym czujnikiem temperatury może być walec jednorodny wykonany z materiału o nieskończenie dużej przewodności cieplnej l. Czujnik ten ma masę m, ciepło właściwe c, oraz całkowitą powierzchnię wymiany ciepła z otoczeniem F. Podczas pomiaru jest całkowicie zanurzony w ośrodku i nie zachodzi wymiana ciepła z żadnym innym ośrodkiem. Załóżmy, że temperatura ośrodka Tk jest większa od temperatury termometru T.

Po zanurzeniu w ośrodku, zgodnie z prawem Newtona, w czasie dt do czujnika dopływa ciepło

            dQ = aF(Tk – T)dt                                                                                                    (6)

gdzie : a – współczynnik wnikania ciepła z ośrodka do czujnika.

Ilość ciepła zgromadzonego przez czujnik:

            dQ = mcdT.                                                                                                              (7)

Porównując (6) i (7) otrzymujemy równanie różniczkowe:

                                                                                                                                       (8)

Dokonując transformacji Laplace’a równania (8), co sprowadza się do transformacji funkcji zależnych od t:

             ,                                                                                                  (9a)

            ,                                                                                                (9b)

                                                     (9c)

i przy założeniu, że T(0) = 0 otrzymujemy równanie:

            t pT(p) +T(p) = Tk(p)                                                                                              (10)

Odpowiadająca temu równaniu transmitancja idealnego termometru ma postać inercji pierwszego rzędu:

                                                                                                                                          (11)

Stała t = mc/Fa   ma wymiar czasu - jest stałą czasową układu.

Odpowiedź termometru na skok od temperatury Tk = T1 do Tk = T2  otrzymuje się dokonując transformacji odwrotnej wyrażenia (11):

            T(t) = T1 + (T2 – T1) (1 – e-t/t )                                                                                 (12)

Jest to funkcja wykładnicza.

Gdy wprowadzimy bezwymiarową zmienną  q = (T – T1)/(T2  - T1)  to równanie (12) można zapisać w postaci:

            q(t) = 1 - e-t/t .                                                                                                         (13)

Czujniki termometryczne bez osłon, takie jak termoelementy lub termometry oporowe z cienkich drutów, a także termometry szklane są zbliżone do termometru idealnego.

2.2 Termometry rzeczywiste

Rzeczywiste termometry, zwłaszcza elementy termoparowe, są umieszczane w kilkuwarstwowej osłonie wykonanej z materiałów które na ogół charakteryzuje różna pojemność cieplna i różne współczynniki przewodzenia ciepła. Nazywamy je termometrami warstwowymi. Osłony te zabezpieczają termometr przed szkodliwym wpływem ośrodka, którego temperaturę ma mierzyć.

Można wykazać, że termometr o  n  warstwach zachowuje się jak element który opisuje transmitancja w postaci inercji n-tego rzędu. Na ogół n nie przekracza 3. Na rys.1  przedstawiono model termometru warstwowego i jego analog elektryczny. Pojemnościom cieplnym crV poszczególnych osłon odpowiadają pojemności C kondensatorów, natomiast oporom cieplnym przy przejściu ciepła przez materiał osłon i szczeliny powietrzne odpowiadają rezystancje R. Odpowiednikiem różnicy temperatur są różnice potencjałów.

Rys. 1 Model termometru warstwowego i jego analog elektryczny; ci - ciepło właściwe, ri - gęstość, Vi - objętość i-tej warstwy.

Funkcję przejścia wielowarstwowego  (np. trójwarstwowego) termometru można napisać w postaci:

                .                                                                                                        (14)

Stałe czasowe  t1, t2, t3 nie są równe iloczynom pojemności cieplnej i oporności cieplnej poszczególnych osłon oraz samego termometru, ponieważ elementy te obciążają się wzajemnie. Analityczne ich obliczanie daje stosunkowo dużą rozbieżność z rzeczywistością, ze względu na duży wpływ drobnych nawet różnic w geometrii termometru, dlatego duże znaczenie mają sposoby empirycznego badania własności dynamicznych termoelementów.

Doświadczalnie ustalono [1], że z dostateczną dla potrzeb automatyki dokładnością, transmitancję termopary można przedstawić w postaci jednego z trzech poniższych wzorów:

                                     (inercja  I  rzędu – charakterystyka A)                     (15)

                    (inercja II  rzędu – charakterystyka B)                     (16)

                    (inercja III rzędu – charakterystyka C)                    (17)

3.  Doświadczalne wyznaczanie własności dynamicznych termopary – metoda Kondratiewa

3.1 Idea pomiaru

W doświadczeniu zastosowano metodę skoku jednostkowego. Otrzymana z eksperymentu charakterystyka czasowa jest podstawą do wyznaczenia transmitancji czujnika. Przy założeniu, że własności cieplne materiałów, z których jest zbudowany czujnik, są stałe, oraz stały jest współczynnik wnikania ciepła a,  rozwiązanie równania przewodnictwa cieplnego Fouriera

                                                                                                               (18)

gdzie l – przewodność cieplna właściwa, c – ciepło właściwe, r – gęstość, daje zależność na temperaturę wskazywaną przez czujnik [2]:

                                                                                                        (19)

gdzie: T1 – temperatura początkowa czujnika, stała w całej jego objętości, Ui = Ui(x, y, z) – funkcje własne rozwiązania równania przewodnictwa, zależne od własności cieplnych, współczynnika wnikania ciepła a, kształtu czujnika, położenia spoiny, ale niezależne od czasu, Ai – współczynniki zależne od warunków brzegowych, ti – liczby (wartości) własne rozwiązania równania przewodnictwa tzw. stałe czasowe,  t – czas, DT = T2 – T1  - skok temperatury.

Wprowadzając nową zmienną bezwymiarową - względny przyrost temperatury, normującą skok temperatury do jedyności:

            q(t) = (T(t) – T1)/DT                                                                                                (20)

 z równania (19) otrzymujemy:

                .                                                                                                 (21)

Ponumerujmy stałe czasowe tak, by spełniały one warunek:

t1 > t2 > t3 > ....  > tn > ...,              (22)

wtedy kolejne składniki sumy (21) (zaczynając od największego  i ) będą szybko malały do zera z rosnącym czasem  t , aż po odpowiednio długim czasie będzie dominował tylko jej pierwszy składnik  A1U1exp(-t/t1).

Wykreślając wskazywaną przez termoparę temperaturę w układzie współrzędnych  ln(h) w funkcji czasu  t – patrz rys. 4. , otrzymamy krzywą, która dla dużych  t  przechodzi w linię prostą o nachyleniu  -1/t1. Z Parametrów prostej dopasowanej tylko do prostoliniowej części tej krzywej wyznaczamy stałą  t1  i iloczyn  A1U1.

Rys. 4. Ilustracja wyznaczania stałych z równania (21).

Następnie możemy od wyrażenia (21) odjąć wynaczony składnik A1U1exp(-t/t1) i ponownie wykreślić ln(h-A1U1exp(-t/t1)) w funkcji czasu. Jeśli otrzymana krzywa (zbiór punktów) przechodzi w liniową zależność dla rosnącego  t , to możemy wyznaczyć t2  i iloczyn  A2U2. Kontynuując procedurę wyznaczamy kolejne stałe czasowe t  i współczynniki AU, o ile punkty na kolejnych wykresach pozwalają określić gładką krzywą.


3.2 Układ pomiarowy

            Stanowisko pomiarowe składa się z termopary miedź – konstantan, której jedno złącze stanowi odniesienie i jest na stałe umieszczone w wodzie o temperaturze T1, a drugie, którego transmitancję należy wyznaczyć, przekłada się z pojemnika z wodą o temperaturze T1 do pojemnika z intensywnie mieszaną wodą o temperaturze T2 realizując w ten sposób skok temperatury o około 20 0.C.

            Sygnał termopary jest wzmocniony i podany na 12 bitowy przetwornik analogowo – cyfrowy znajdujący się na pomiarowej karcie laboratoryjnej PCL12, wpiętej do komputera.


Rys. 5. Schemat stanowiska pomiarowego.

Do obsługi karty PCL i przeprowadzenia pomiaru służy program “Termopara” umieszczony w katalogu SENSORY.

3.3 Zadania do wykonania

1)     Przećwiczyć przekładanie mierzonego złącza termopary z naczynia ze złączem odniesienia do naczynia z podgrzaną wodą  obserwując kształt otrzymanego wykresu na ekranie monitora. Zwrócić uwagę na  wpływ czynników zewnętrznych (przepływ powietrza w pomieszczeniu, szybkość przenoszenia termopary, miejsce uchwycenia termopary itp.) na ewentualne nieregularności wykresu.

2)      Dobrać odpowiedni poziom „zera” i wzmocnienia – należy posłużyć się dołączonym do zestawu woltomierzem. Przetwornik A/D jest ustawiony na przetwarzanie sygnałów z zakresu od –2 V do +2 V. Ustawić czas pomiaru (minimum 30 s) i częstotliwość próbkowania, ustawienia te należy zapisać dla każdego pomiaru!

3)      Zapisać na dysku (dyskietce) dziesięć „udanych” pomiarów. Zwrócić uwagę na format zapisu danych. Pliki z rozszerzeniem .pcl są czytane tylko przez program TERMOPARA.

4)      Trzy najlepsze pomiary opracować w domu posługując się odpowiednim programem obliczeniowym, np „Excel”. Zastanowić się dlaczego możemy wyznaczyć stałe czasowe charakteryzujące termoparę, mimo że nie znamy rzeczywistej różnicy temperatur, siły termoelektrycznej termopary, ani wzmocnienia wzmacniacza. Wystarczy założenie, że w stosowanym zakresie temperatur charakterystyka termopary jest liniowa.

5)    Wykreślić charakterystyki częstotliwościowe otrzymanych transmitancji.

4.  Literatura

1.     Cz. Graczyk, A. Puszer: “Badanie własności dynamicznych czujników termoelektrycznych”, Pomiary Automatyka Kontrola, Zeszyt 12, str. 541 – 545, 1969

2.     E. Romer: Miernicto Przemysłowe, PWN, Warszawa 1978

3.    J. Frączek, St. Waluś: Laboratorium miernictwa przemysłowego, Skrypt 2041, Wydawnictwo Politechniki Śląskiej, Gliwice 1997

4.    L. Michalski, K. Eckersdorf: Pomiary temperatury, WNT Warszawa 1986